Clasificación de triángulos
1.- Según la medida de sus lados
– Triángulo equilátero: es aquel que tiene todos sus lados de la misma medida.
– Triángulo isósceles: es aquel que tiene sólo dos lados de igual medida.
– Triángulo escaleno: es aquel que tiene todos sus lados de distinta medida.
2.- Según la medida de sus ángulos interiores
– Triángulo acutángulo: es aquel que tiene todos su ángulos agudos, es decir, todos miden menos de 90°.
– Triángulo rectángulo: es aquel que posee un ángulo recto, es decir, de 90°.
– Triángulo obtusángulo: es aquel que posee un ángulo obtuso, es decir, superior a 90°.
Elementos de un triángulo
– Altura: es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y su lado opuesto.
– Ortocentro: es el punto de intersección de las 3 alturas de un triángulo.
– Bisectriz: es la semirrecta que divide un ángulo en dos partes iguales.
– Incentro: es el punto de intersección de las 3 bisectrices de un triángulo. El incentro es el centro de la circunsferencia inscrita.
– Simetrales: son las líneas perpendiculares que pasan por el punto medio de cada lado de un triángulo.
– Cincuncentro: es el punto de intersección de las 3 simetrales de un triángulo. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita.
– Transversal de gravedad: segmento trazado desde un vértice del triángulo al punto medio del lado opuesto.
– Centro de gravedad o baricentro: es el punto de intersección de las 3 transversales de gravedad de un triángulo.
Grafiquemos todos estos elementos en un triángulo equilátero. Recuerda que un triángulo equilátero siempre será acutángulo.
En un triángulo equilátero coinciden las alturas, bisectrices, simetrales y transversales de gravedad, y por lo tanto, también los puntos de intersección entre ellas.
Dibujemos ahora un triángulo isósceles. Un triángulo isósceles puede ser acutángulo, rectángulo y obtusángulo.
En un triángulo isósceles sólo coincide una altura, bisectriz, simetral y transversal de gravedad: la que se grafica entre los lados de igual medida del triángulo.
En un triángulo acutángulo isósceles, todos los puntos de intersección de estos elementos quedarán dentro del triángulo.
En un rectángulo isósceles, el ortocentro será el vértice que une los catetos, y el circuncentro será el punto medio de la hipotenusa.
En un obtusángulo isósceles, tanto el ortocentro como el circuncentro quedarán fuera del triángulo.
Veamos que sucede en un triángulo escaleno:
En los triángulos escalenos no coinciden estos elementos.
En un acutángulo escaleno, el ortocentro, incentro, circuncentro y baricentro quedarán dentro del triángulo.
El ortocentro de un rectángulo escaleno será el vértice que une los dos catetos y el circuncentro quedará en la hipotenusa.
Tanto el ortocentro como el circuncentro quedarán fuera del triángulo en un obtusángulo escaleno.
Teorema de pitágoras
El gran matemático griego Pitágoras descubrió una situación muy especial que se produce en el triángulo rectángulo y que se relaciona con sus lados.
Su teorema dice: «El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, equivale a la suma de los cuadrados construidos sobre sus catetos».
Demostraremos este teorema a través de un dibujo:
Hemos construido un cuadrado sobre cada lado del triángulo rectángulo.
Pitágoras dice que el cuadrado 1 tiene su área igual a la suma de los cuadrados 2 y 3.
De acuerdo al cuadriculado, el cuadrado 1 tiene un área de 25 cuadros. Al sumar los 9 cuadros del cuadrado 2 y los 16 cuadros del 3 obtenemos 25. Entonces, se cumple:
Este teorema nos sirve para calcular la medida desconocida de un lado de un triángulo rectángulo, puede ser un cateto o su hipotenusa.
Por ejemplo:
Si la hipotenusa mide 5 cm y uno de sus catetos es 4 cm, ¿cuánto mide el otro cateto?
