Primero pensemos que producimos cada entero restando 1, comenzando desde el 0. Ubicamos el cero en la recta numérica y pensemos que restar es retroceder un espacio hacia la izquierda en la recta. Así, el -1 se produce restando 0 – 1, es decir, retrocediendo un espacio desde el 0 hacia la izquierda; el -2 se produce restando -1 – 2, es decir, retrocediendo dos espacios desde el 0 hacia la izquierda, y así sucesivamente, producimos todos los enteros negativos.
Ahora recordemos que el mismo efecto de restar un número positivo, aparece cuando sumamos un número negativo, es decir, «sumar un número negativo es retroceder en la recta numérica». Por ejemplo, si a 4 le sumamos -6, retrocedemos, comenzando desde 4, 6 espacios en la recta numérica:
Otro ejemplo es si a -1 le sumamos -2, el resultado es -3, es decir, desde -1, retrocedemos 2 espacios en la recta numérica.
Ahora queremos multiplicar un número negativo por un natural. Recuerda que multiplicar un número es “sumar el número las veces que corresponda”. Por ejemplo, si multiplicamos 3X5 el resultado es 15, que es lo mismo que “sumar 3 veces 5”: 5 + 5 + 5 = 15.
Lo mismo sucederá cuando quiera multiplicar un número negativo por un natural; es “sumar varias veces (las veces que corresponda) el número negativo”, y como sumar un número negativo hace que retroceda en la recta numérica, retrocederemos las veces que corresponda.
Por ejemplo, si multiplicamos 4 X (-2), eso quiere decir, sumar 4 veces el -2, esto es: -2 + -2 + -2 + -2. O sea, debemos ir retrocediendo 2 espacios a la vez, 4 veces:
El resultado de la multiplicación 4 X (-2) es -8.
Ahora, como sabes, la multiplicación es conmutativa, por lo que -2 X 4 = 4 X (-2) = -8.
Por todo lo anterior, sabemos que si multiplicamos un número por -1, el resultado es su inverso aditivo. Por ejemplo, multiplicar 3 X (-1) = -3, pues son 3 saltos de un espacio cada uno, hacia la izquierda.
Con esto, podemos concluir que multiplicar un número por -1 es lo mismo que reflejar el número en torno al 0.
Entonces, cualquier número negativo lo podemos transformar en -1 por su valor absoluto. Por ejemplo, -8 = (-1) X 8, -21 = (-1) X 21, etc
Entonces ahora, si multiplicamos, por ejemplo, -7 X 3 = (-1) X 7 X 3, porque el -7 lo convertimos en (-1) X 7. Ahora, como sabes, la multiplicación es asociativa, así que, podemos multiplicar el 7 por el 3 y luego multiplicar por –1, y nos queda:
-7 X 3 = (-1) X 7 X 3 = (-1) X (7 X 3) = (-1) X 21 = -21.
¿Qué conclusión puedes sacar?
Una conclusión es que, siempre que multipliquemos un número negativo por un natural, el resultado será negativo.
Practica multiplicando más números enteros negativos por naturales.
Para profundizar:
http://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/multiplicacion_enteros.pdf
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena3/1quincena3.pdf
